Adatiga cara yang sering digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu dengan pemfaktoran, melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, dan rumus abc. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara yang kedua, yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Denganmenggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna, carilah akar-akar persamaan kuadrat x2 −10x+1 = 0 x 2 − 10 x + 1 = 0. Pembahasan: Pertama, kita memindahkan nilai c = 1 c = 1 ke ruas kanan persamaan, kemudian membagi kedua ruas persamaan dengan a = 1 a = 1. Karena pembagian dengan 1 tidak mengubah apapun, kita peroleh hasil berikut. MenyelesaikanPersamaan kuadrat Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan: a) memfaktorkan, b) melengkapkan kuadrat sempurna, c) menggunakan rumus. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x - x1) (x - x2) = 0. Selesaikandengan Melengkapkan Kuadrat x^2+7x-5=0. x2 + 7x − 5 = 0 x 2 + 7 x - 5 = 0. Tambahkan 5 5 ke kedua ruas persamaan. x2 + 7x = 5 x 2 + 7 x = 5. Untuk membuat trinomial kuadratkan ruas kiri persamaan, tentukan nilai yang sama dengan kuadrat dari setengah b b. (b 2)2 = (7 2)2 ( b 2) 2 = ( 7 2) 2. Tambahkan sukunya ke setiap ruas persamaan. Melengkapkankuadrat sempurna menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna. D = k 2, dengan k 2 = bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional. Memfaktorkan bentuk x 2 + bx + c. Bentuk umum persamaan kuadrat : Berikut ini data tentang ukuran sepatu dari 13 siswa kelas viii.36 39 37 39 37 40 38 40 39 38 40 39 38nilai Melengkapkanbentuk kuadrat sempurna 3. Menggunakan rumus kuadrat 1. Memfaktorkan Contoh: Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a. x2 9 = 0 b. x 2 + 3x = 2 = 0 c. 2 x 2 x 1 = 0 Jawab: a. x2 9 = 0 Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 . c. Jenis akar-akar Pk6Z. Contoh menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna. Metode pemfaktoran dan penggunaan rumus abc telah dipelajari pada tulisan terdahulu matematika kelas 10 SMA. Sebelumnya diingat lagi dua rumus aljabar berikut ini a + b2 = a2 + 2ab + b2 a − b2 = a2 − 2ab + b2 Misalnya jika x + 32 akan menghasilkan bentuk x2 + 6x + 9 atau x2 + 6x + 9 akan sama dengan x + 32 Sebagai gambaran awal diberikan soal untuk diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna x2 + 6x + 5 = 0 Soal ini mirip dengan bentuk kuadrat sempurna yang sudah kita kenal pada pendahuluan di atas yaitu x2 + 6x + 9 Modif sedikit biar muncul bentuk tersebut seperti ini x2 + 6x + 5 = 0 Pindahkan 5 ke ruas kanan dulu x2 + 6x = − 5 Tambahkan suatu angka diruas kiri agar menjadi bentuk kuadrat sempurna, kebetulan kita sudah tahu bahwa angka yang harus ditambahkan adalah angka 9, jika sebelumnya belum tau, maka dapatnya angka 9 adalah dari separuhnya 6 yang dikuadratkan. 3 kuadrat Tambah 9 di ruas kiri, berarti ruas kanan juga harus di tambah 9 x2 + 6x + 9 = − 5 + 9 x2 + 6x + 9 = 4 Ruas kiri kembalikan ke bentuk asalnya x + 32 = 4 ruas kiri diakarkan hingga hilang kuadratnya, demikian juga ruas kanan harus di akarkan. x + 3 = √4 Akar 4 bukan hanya 2, tetapi juga −2 sehingga x + 3 = ± 2 Saatnya penyelesaian x + 3 = 2 x = 2 − 3 x = − 1 atau x + 3 = − 2 x = − 2 − 3 x = − 5 Jadi x = − 1 atau x = − 5 Untuk model soal pilihan ganda kadang lebih cepat dan efektif gunakan pemfaktoran saja. Contoh berikutnya Soal No. 1 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna x2 + 8x − 9 = 0 Pembahasan Cari angka yang akan ditambahkan lebih dulu 8x → separuhnya 8 adalah 4, angka yang akan ditambahkan adalah 42 = 16 Sehingga x2 + 8x − 9 = 0 x2 + 8x = 9 x2 + 8x + 16 = 9 + 16 x2 + 8x + 16 = 25 x + 42 = 25 x + 4 = √ 25 x + 4 = ± 5 x + 4 = 5 x = 1 atau x + 4 = − 5 x = − 9 Soal No. 2 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna x2 − 6x + 8 = 0 Pembahasan Cari angka yang akan ditambahkan lebih dulu − 6x → separuhnya − 6 adalah −3, angka yang akan ditambahkan adalah −32 = 9 Sehingga x2 − 6x + 8 = 0 x2 − 6x = − 8 x2 − 6x + 9 = − 8 + 9 x2 − 6x + 9 = 1 x − 32 = 1 x − 3 = √1 x − 3 = ±1 x − 3 = 1 x = 4 atau x − 3 = − 1 x = 2 Soal No. 3 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna 2 x2 − 5x + 3 = 0 Pembahasan Bagi 2 lebih dahulu hingga persamaannya menjadi x2 − 5/2 x + 3/2 = 0 Cari angka yang akan ditambahkan lebih dulu − 5/2 x → separuhnya − 5/2 adalah − 5/4, angka yang akan ditambahkan adalah − 5/42 = 25/16 Sehingga x2 − 5/2 x + 3/2 = 0 x2 − 5/2 x = − 3/2 x2 − 5/2 x + 25/16 = − 3/2 + 25/16 x2 − 5/2 x + 25/16 = − 24/16 + 25/16 x2 − 5/2 x + 25/16 = 1/16 x − 5/42 = √1/16 x − 5/4 = ± 1/4 x − 5/4 = 1/4 x = 1/4 + 5/4 = 6/4 = 3/2 atau x − 5/4 = − 1/4 x = − 1/4 + 5/4 = 4/4 = 1 Langkah-langkah mencari penyelesaian dari persamaan adalah sebagai berikut. Koefisien adalah 1, atau dibuat menjadi 1. Persamaan dinyatakan dalam . Kedua ruas persamaan ditambah dengan kuadrat dari . Persamaan dinyatakan dalam bentuk . Menggunakan langkah-langkah di atas akan dicari penyelesaian dari persamaan . Koefisien adalah 1 sehingga selanjutnya persamaan dinyatakan dalam bentuk yaitu Karena koefisien dari adalah 4, sehingga kedua ruas ditambah dengan . Ruas kiri dinyatakan sebagai kuadrat sempuna, kemudian gunakan sifat jika , maka , sehingga diperoleh Jadi, penyelesaiannya adalah dan . Ilustrasi persamaan kuadrat. Foto iStockDalam matematika, tidak semua persamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi. Cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Dikutip dari Pintar Matematika Tanpa Bimbel SMA X, XI, XII oleh Noti Lansaroni, yang dimaksud dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 menjadi x + p2 = q, q ≥ 0. Penyelesaian persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menarik akar pada nilai yang terdapat di ruas memahami lebih jelas mengenai kuadrat sempurna, simak pembahasan Persamaan Kuadrat SempurnaIlustrasi persamaan kuadrat. Foto iStockBilangan-bilangan kuadrat seperti 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, dan seterusnya merupakan bentuk kuadrat sempurna. Bentuk lain dari kuadrat sempurna dengan variabel x, antara lain x2, 4x2, 9x2, 16x2, 25x2, x + 32, x - 42, dan x - 5 itu, persamaan kuadrat atau persamaan pangkat dua adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c adalah konstanta yang sesuai dengan persamaan suatu persamaan kuadrat sulit diselesaikan dengan cara pemfaktoran, dapat menggunakan cara melengkapkan bentuk kuadrat persamaan kuadrat sempurna adalah bentuk persamaan yang menghasilkan bilangan rasional. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dibentuk menjadi kuadrat sempurna dengan cara menambah atau mengurangi suatu bilangan pada persamaan kuadrat yang dilakukan untuk melengkapkan kuadrat sempurna adalah sebagai proses melengkapkan kuadrat sempurna, ubahlah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ke dalam bentuk x + p2 = q, dengan q ≥ himpunan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir. Jadi, rumus persamaan kuadrat sempurna adalah Ubah menjadi bentuk persamaan dalam x+p2 = q dengan penyelesaianContoh Soal Melengkapkan Persamaan Kuadrat SempurnaIlustrasi mengerjakan soal kuadrat sempurna. Foto iStockBerikut contoh soal melengkapkan kuadrat cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan himpunan penyelesaian atau akar-akar dari persamaan kuadrat berikut satu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari x yang dikuadratkan, sehingga persamaannya menjadi⇔ x2 + 2x + 12 = 8 + 12⇔ x + 1 = 3 atau x + 1 = -3Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x - 8 = 0 adalah x = 2 atau x = -4. Apa itu persamaan kuadrat?Apa bentuk umum persamaan kuadrat?Sebutkan bilangan yang merupakan bentuk kuadrat sempurna! Ada tiga cara yang sering digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu dengan pemfaktoran, melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, dan rumus abc. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara yang kedua, yaitu dengan melengkapkan kuadrat kita mempunyai bentuk berikut.$$x-4^2 = 9$$Dengan menguraikan bentuk kuadrat pada ruas kiri, diperoleh persamaan kuadrat berikut.$$\begin{aligned}x-4^2 &= 9 \\x^2-8x + 16 &= 9 \\x^2-8x + 7 &= 0\end{aligned}$$Jika proses untuk memperoleh persamaan kuadrat di atas, kita balik, maka akan diperoleh cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang disebut melengkapkan kuadrat sempurna.$$\begin{aligned}x^2-8x + 7 &= 0 \\x^2-8x &= -7 \\x^2-8x + 16 &= -7 + 16 \\x^2-8x + 16 &= 9 \\x-4^2 &= 9\end{aligned}$$Sampai di sini, kita bisa memperoleh akar-akar persamaan kuadrat di atas. Tetapi ada satu hal yang perlu kita perhatikan, yaitu bilangan $16$ yang ditambahkan pada baris ketiga. Bilangan ini diperoleh dengan membagi koefisien $x$ dengan dua kali koefisien $x^2$, hasilnya kemudian dikuadratkan. Secara matematis, ditulis $\left \frac{b}{2a} \right^2$.Pada persamaan di atas, nilai $b=-8$ dan $a = 1$, sehingga$$\left \frac{b}{2a} \right ^2 = \left \frac{-8}{2 \cdot 1} \right ^2 = -4 ^2 = 16$$Berdasarkan proses di atas, kita bisa menuliskan langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Bagi kedua ruas dengan koefisien $x^2$. Kurangi kedua ruas dengan konstanta. Tambahkan $\left \frac{b}{2a} \right^2$ pada kedua ruas. Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna. Akarkan kedua ruas. Ingat, pada tahap ini muncul tanda $\pm$ pada ruas kanan. Cari akar-akar persamaan kuadrat 1Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + 8x + 12 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 1$, $b = 8$, dan $c = 12$. Koefisien $x^2$ sudah sama dengan $1$, jadi kita langsung ke langkah dua. Kurangi kedua ruas dengan nilai $c$.$$\begin{aligned}x^2 + 8x + 12-12 &= 0-12 \\x^2 + 8x &= -12\end{aligned}$$Tambahkan $\left \frac{b}{2a} \right ^{2} = \left \frac{8}{2 \cdot 1} \right ^{2} = 16$ pada kedua ruas, sehingga$$\begin{aligned}x^2 + 8x + 16 &= -12 + 16 \\x^2 + 8x + 16 &= 4\end{aligned}$$Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat.$$x + 4^2 = 4$$Akarkan kedua ruas, sehingga diperoleh$$\begin{aligned}x + 4 &= \pm 4 \\x + 4 &= \pm 2 \\x &= -4 \pm 2\end{aligned}$$Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.$$\begin{aligned}x_1 &= -4-2 = -6 \\x_2 &= -4 + 2 = -2\end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{-6, -2\}$.Contoh 2Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + 3x-10 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 1$, $b = 3$, dan $c = -10$.$$\begin{aligned}x^2 + 3x-10 &= 0 \\x^2 + 3x &= 10\end{aligned}$$Tambahkan $\left \frac{b}{2a} \right ^{2} = \left \frac{3}{2 \cdot 1} \right ^{2} = \frac{9}{4}$ pada kedua ruas, sehingga$$\begin{aligned}x^2 + 3x + \frac{9}{4} &= 10 + \frac{9}{4} \\\left x + \frac{3}{2} \right^2 &= \frac{49}{4} \\x + \frac{3}{2} &= \pm \sqrt{ \frac{49}{4}} \\x &= -\frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\end{aligned}$$Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.$$\begin{aligned}x_1 &= -\frac{3}{2}-\frac{7}{2} = -\frac{10}{2} =-5 \\x_2 &= -\frac{3}{2} + \frac{7}{2} = \frac{4}{2} = 2\end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaiannya $\{-5, 2\}$.Contoh 3Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 + 4x-6 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 2$, $b = 4$, dan $c=-6$. Bagi kedua ruas dengan nilai $a$, karena $a \neq 1$.$$\begin{aligned}\frac{2x^2 + 4x-6}{2} &= \frac{0}{2} \\x^2 + 2x-3 &= 0 \\x^2 + 2x &= 3\end{aligned}$$Tambahkan $\left \frac{b}{2a} \right ^{2} = \left \frac{2}{2 \cdot 1} \right ^{2} = 1$ pada kedua ruas, sehingga$$\begin{aligned}x^2 + 2x + 1 &= 3 + 1 \\x + 1^2 &= 4 \\x + 1 &= \pm \sqrt{4} \\x &= -1 \pm 2\end{aligned}$$Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.$$\begin{aligned}x_1 &=-1-2 =-3 \\x_2 &=-1 + 2 = 1\end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaiannya $\{-3, 1\}$.Seperti itulah proses penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna. Coba bandingkan dengan dua metode lainnya. Metode mana yang menurut anda paling mudah? Langkah-langkah mencari penyelesaian dari persamaan adalah sebagai berikut. Koefisien adalah 1, atau dibuat menjadi 1. Persamaan dinyatakan dalam . Kedua ruas persamaan ditambah dengan kuadrat dari . Persamaan dinyatakan dalam bentuk . Menggunakan langkah-langkah di atas akan dicari penyelesaian dari persamaan . Koefisien adalah 1 sehingga selanjutnya persamaan dinyatakan dalam bentuk yaitu Karena koefisien dari adalah , sehingga kedua ruas ditambah dengan . Ruas kiri dinyatakan sebagai kuadrat sempuna, kemudian gunakan sifat jika , maka , sehingga diperoleh Jadi, penyelesaiannya adalah dan .

selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna